根据您提供的参考信息，您提到的游戏应该是指《超级马里奥兄弟》（Super Mario Bros.）。这是一款由任天堂公司开发的著名横版过关游戏，最早在红白机上推出，主角是马里奥，他在游戏中会吃蘑菇来变大，对抗各种怪物，最终目标是拯救公主。游戏中确实有吃蘑菇变大的元素，也有推箱子、躲避障碍等玩法。
至于您提到的“小红帽推苹果，到花旁边就被吃掉。吃蘑菇通关”的游戏，根据描述，这可能是一个简化版的类似游戏，但具体名称无法从现有信息中确定。这类游戏可能是一些早期的简单游戏，或者是特定地区的游戏，因此可能没有广泛流传的英文名字。
《超级马里奥兄弟》因其独特的游戏玩法和丰富的故事情节，成为了全球知名的电子游戏之一，对电子游戏产业产生了深远的影响。
